Équation réduite d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées

Le plan est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text{O}; \overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)\).

Propriété

Soit \(d\) une droite parallèle à l'axe des ordonnées.
Alors, une équation cartésienne de \(d\) peut s'écrire sous la forme \(\boxed{x=k}\) , avec \(k \in \mathbb{R}\).

Définition

Soit \(d\) une droite parallèle à l'axe des ordonnées qui admet comme équation \(x=k\) , avec \(k \in \mathbb{R}\).
On dit que \(x=k\) est l'équation réduite de la droite \(d\).

Exemples

On a représenté les droites d'équation \(\color{green}{x=-2}\) et \(\color{red}{x=3}\) dans le repère orthonormé ci-dessus.

Remarques

• L'axe des ordonnées du repère admet comme équation réduite \(x=0\).
  
• Une droite parallèle à l'axe des ordonnées ne représente pas une fonction (car un nombre de l'ensemble de définition d'une fonction ne peut avoir qu'une seule image par cette fonction).
  

Propriété réciproque

Soit \(d\) une droite d'équation réduite  \(x=k\)  , avec \(k \in \mathbb{R}\).
Alors \(d\) est une droite parallèle à l'axe des ordonnées.

Démonstration

Soit \(d\) une droite d'équation réduite  \(x=k\)  , avec \(k \in \mathbb{R}\).
Alors une équation cartésienne de la droite \(d\) est \(x-k=0\) soit \(\color{orange}{1} \times x + \color{blue}{0} \times y + k = 0\).
Ainsi un vecteur directeur de la droite \(d\) est le vecteur \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} \color{blue}{0}\\ \color{orange}{1} \end{pmatrix}\).
Donc la droite \(d\) est une droite parallèle à l'axe des ordonnées.